Розмах, дисперсія і стандартне відхилення

Ви

Алексе, допоможи розібрати «Розкид: розмах, SD і квартилі» крок за кроком.

Alex Tutor

Котокорм працює з двома кур'єрськими службами. Покупцям обіцяють доставку протягом 36 годин, і керівниця операцій хоче відмовитися від однієї служби, щоб спростити договори. Вона бере останні 10 доставок кожної й доповідає: «Обидві в середньому доставляють рівно за 24 години. Байдуже, яку залишити».

Зовсім не байдуже. Середнє показує, де зосереджені дані, але нічого не каже про те, наскільки окремі значення відходять від центру. Служба, що завжди везе 23–26 годин, і служба, що везе будь-що від 14 до 38 годин, мають однакове середнє, але обіцянку про 36 годин щоразу виконує лише одна з них.

Цей урок — про міри розкиду (їх ще називають мірами мінливості): розмах, дисперсію, стандартне відхилення, квартилі та міжквартильний розмах, а також коефіцієнт варіації, щоб порівнювати розкид різних метрик. Завантажте доставки й рахуйте разом із нами.

Alex Tutor

Набір даних · 20 рядків

Доставки Котокорму за кур'єрськими службами

Останні 10 доставок кожної з двох кур'єрських служб. Синтетичні дані, створені для цього курсу.

Завантажити CSV

Стовпці
delivery_id: Номер доставки
courier: Кур'єрська служба: A або B
hours: Години від відправлення до доставки

Дані

delivery_id	courier	hours
D-301	A	24
D-302	B	24
D-303	A	24
D-304	A	21
D-305	B	14

Показати ще 15 рядків

D-306	B	18
D-307	A	23
D-308	A	21
D-309	B	30
D-310	A	26
D-311	B	14
D-312	A	26
D-313	A	26
D-314	B	18
D-315	A	23
D-316	A	26
D-317	B	30
D-318	B	38
D-319	B	30
D-320	B	24

Alex Tutor

Час доставки: служба A і служба BОбидві служби зосереджені біля 24 годин. Доставки служби A — щільна група, а доставки служби B розкидані від 14 до 38 годин, і одна порушує обіцянку про 36 годин.

Дані графіка

Час доставки, години	Служба A	Служба B
12–15	0	2
16–19	0	2
20–23	4	0
24–27	6	2
28–31	0	3

Показати ще 2 рядки

32–35	0	0
36–39	0	1

Alex Tutor

Питання 1

За набором даних Доставки Котокорму за кур'єрськими службами обчисліть вибіркове стандартне відхилення часу доставки служби A.

Ваша відповідь

Одиниці: години, напр. 4,5

Alex Tutor

Розмах — це найбільше значення мінус найменше. Служба A:

26 - 21 = 5

годин. Служба B:

38 - 14 = 24

години. Різниця вже очевидна.

Розмах легко порахувати й легко пояснити, але він залежить лише від двох значень — двох найкрайніших. Одна загублена посилка, що їхала 90 годин, змінила б розмах служби A з 5 на 69, навіть якби решта дев'ять доставок були ідеальними. Використовуйте розмах для першого погляду, а не як остаточний висновок.

Alex Tutor

Краща ідея — використати кожне значення. Для кожної доставки обчислимо її відхилення: значення мінус середнє. Для служби B після сортування відхилення від 24 годин такі:

Години	14	14	18	18	24	24	30	30	30	38
Відхилення	−10	−10	−6	−6	0	0	+6	+6	+6	+14

Чому б просто не усереднити відхилення? Спробуйте: у сумі вони дають рівно нуль. Це не випадковість. Середнє — точка рівноваги даних, тож від'ємні відхилення завжди компенсують додатні. Щоб виміряти розкид, треба позбутися знаків.

Alex Tutor

Питання 2

У тому самому наборі даних який міжквартильний розмах часу доставки служби A?

Ваша відповідь

Одиниці: години, напр. 4,5

Alex Tutor

\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x} = 0

Відхилення від середнього завжди в сумі дають нуль, бо n, помножене на середнє, дорівнює сумі.

Alex Tutor

Стандартний прийом — піднести кожне відхилення до квадрата: квадрати ніколи не бувають від'ємними, а великі промахи важать значно більше за малі (відхилення 14 перетворюється на 196). Для служби B квадрати відхилень — 100, 100, 36, 36, 0, 0, 36, 36, 36 і 196, у сумі 576.

Тепер їх усереднюємо, але з нюансом. Коли ваші дані — вибірка (10 доставок, а не всі доставки, які служба колись зробить), ділять на

n - 1

, а не на

n

. Чому? Вибіркове середнє обчислене з тих самих 10 значень, тож воно трохи ближче до них, ніж справжнє довгострокове середнє. Через це відхилення здаються трохи меншими, ніж є, і ділення на

n - 1

це компенсує. Отже, вибіркова дисперсія дорівнює

576 / 9 = 64

.

Якщо у вас справді вся генеральна сукупність (скажімо, усі замовлення за всю історію, і цікавлять вас саме вони), ділять на

n

:

576 / 10 = 57{,}6

. У продуктовій аналітиці майже завжди маємо справу з вибірками, тож

n - 1

— варіант за замовчуванням.

Є підступ: піднесення до квадрата підносить до квадрата й одиниці виміру. Дисперсія дорівнює 64 години², а квадратну годину ніхто не уявить.

Alex Tutor

Питання 3

Якщо час доставки вимірюють у годинах, то його дисперсію також вимірюють у годинах.

ПравдаНеправда

Alex Tutor

s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \qquad \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2

Ліворуч: вибіркова дисперсія (ділимо на n − 1). Праворуч: дисперсія генеральної сукупності (ділимо на N, відхилення від середнього сукупності μ).

Alex Tutor

Добудьте квадратний корінь із дисперсії, і ви повернетеся до початкових одиниць. Це стандартне відхилення (SD):

\sqrt{64} = 8

годин для служби B. Читайте його як «типова доставка відходить від середнього приблизно на 8 годин». Зробіть те саме для служби A, і отримаєте значно менше число: це ваше перше запитання в тесті.

Для даних, що утворюють приблизно симетричний «дзвін», є зручна евристика: близько 68% значень лежать у межах одного SD від середнього, а близько 95% — у межах двох SD. Для служби B «два SD» — це

24 \pm 16

, тобто від 8 до 40 годин, і обіцянка про 36 годин опиняється всередині цього діапазону. Запізнення тут очікувані, а не випадковість. (Десяти доставок замало, щоб точно довіряти відсоткам, а в модулі 2 ви дізнаєтеся, коли таку форму «дзвона» можна припускати.)

Завжди показуйте розкид поруч із центром: «24 ± 8 годин» каже набагато більше, ніж «у середньому 24 години».

Alex Tutor

Питання 4

Розташуйте кроки обчислення вибіркового стандартного відхилення в правильному порядку.

Торкніться пункту, а потім місця, куди його поставити. Можна перетягувати або користуватися стрілками.

Alex Tutor

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Вибіркове стандартне відхилення: квадратний корінь із вибіркової дисперсії, в тих самих одиницях, що й дані.

Alex Tutor

Питання 5

Одна посилка загубилася й приїхала через 90 годин. Які міри розкиду служби A сильно зміняться? Оберіть усі.

Оберіть усі правильні відповідіРозмахСтандартне відхиленняМіжквартильний розмахДисперсія

Alex Tutor

Медіана ділить відсортовані дані навпіл. Квартилі ділять їх на чверті: нижче Q1 лежить чверть значень, Q2 — це медіана, а нижче Q3 — три чверті. Простий спосіб знайти їх уручну: Q1 — медіана нижньої половини даних, Q3 — медіана верхньої.

Служба B після сортування: 14, 14, 18, 18, 24 | 24, 30, 30, 30, 38. Нижня половина — 14, 14, 18, 18, 24, отже, Q1 = 18. Верхня — 24, 30, 30, 30, 38, отже, Q3 = 30.

Міжквартильний розмах (IQR) дорівнює

Q_3 - Q_1 = 30 - 18 = 12

годин: це ширина середніх 50% доставок. На відміну від розмаху й SD, IQR повністю ігнорує крайні значення. Та загублена посилка на 90 годин його б не змінила. Тому IQR — природний партнер медіани, а SD — партнер середнього.

Квартилі — окремий випадок процентилів: 90-й процентиль — це значення, нижче якого лежать 90% даних. Продуктові команди користуються ними постійно: «p90 часу доставки — 30 годин», «p95 завантаження сторінки — 2,8 секунди». Вони описують досвід найменш щасливих покупців, який середнє приховує.

Alex Tutor

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

Міжквартильний розмах: розкид середніх 50% даних.

Alex Tutor

Питання 6

Денні витрати на рекламу: середнє $2 000, SD $200. Денні реєстрації з реклами: середнє 50, SD 15. Що мінливіше відносно свого розміру?

Оберіть одну відповідьВитрати на рекламу, бо їхнє SD більшеРеєстрації: CV 30% проти 10%Однаково мінливіЇх не можна порівняти

Alex Tutor

SD у 8 — це багато? Залежить від масштабу. 8 годин — це чимало для доставки за 24 години, але дрібниця для 30-денного циклу підписки. Щоб порівняти розкид метрик із різними одиницями чи масштабами, поділіть SD на середнє. Це коефіцієнт варіації (CV), зазвичай у відсотках.

Служба B:

8 / 24 \approx 33\%

. А тепер маркетинговий приклад: денні витрати Котокорму на рекламу в середньому становлять $1 000 із SD $150 (CV 15%), а денні замовлення з реклами — у середньому 30 із SD 9 (CV 30%). Витрати стабільні, а результати коливаються вдвічі сильніше відносно свого розміру. Це підказка, що замовлення визначає щось інше, крім бюджету: день тижня, креативи, відсутність товару на складі.

CV має сенс лише для величин з абсолютним нулем: годин, грошей, кількостей. Не застосовуйте його до температури чи NPS, які можуть бути від'ємними.

Alex Tutor

Питання 7Коротка відповідь · Завдання з перевіркою ШІ

Продакт-менеджер доповідає: «Середній час оформлення замовлення — 40 секунд (SD 35 секунд)». Що каже велике SD і яке ще число ви попросите? Відповідь — 2–4 речення.

Напишіть відповідь і отримайте оцінку та відгук від нашого ШІ-рецензента.

Увійдіть, щоб отримати відгук ШІ

Alex Tutor

\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%

Коефіцієнт варіації: SD як частка від середнього.

Alex Tutor

Міра	Що використовує	Стійка до крайнощів?	Для чого
Розмах	2 значення	Ні	Перший погляд, «найкращий і найгірший випадок»
Дисперсія	Усі значення	Ні	Математика всередині інших методів (зустрінете її в тестах і ANOVA)
Стандартне відхилення	Усі значення	Ні	Розкид поруч із середнім: «24 ± 8 годин»
IQR / процентилі	Порядок значень	Так	Скошені дані, SLA, звіти з медіаною
CV	SD і середнє	Ні	Порівняння розкиду метрик різного масштабу

Повернімося до кур'єрів. Служба A: розмах 5 годин, і кожна доставка вкладається в обіцянку. Служба B: розмах 24 години, SD 8 годин, IQR 12 годин, і 1 із 10 доставок запізнилася. Однакове середнє, зовсім різний досвід покупця. У кейсі наприкінці уроку рішення ухвалюєте ви.

Alex Tutor

Питання 8Кейс · Завдання з перевіркою ШІ

Яку кур'єрську службу варто залишити Котокорму і чому? Підкріпіть відповідь числами з набору даних.

Котокорм обіцяє покупцям доставку протягом 36 годин. Керівниця операцій хоче залишити лише одну службу. Її висновок: «Обидві в середньому везуть 24 години, тож лишаймо службу B: вона на 10% дешевша».

У вас є останні 10 доставок кожної служби (набір даних Доставки Котокорму за кур'єрськими службами). Напишіть коротку рекомендацію: що приховує середнє, на які міри розкиду ви подивитеся, яку службу залишите і що ще хотіли б знати перед підписанням договору.

Дані для завдання: Доставки Котокорму за кур'єрськими службами

Напишіть відповідь і отримайте оцінку та відгук від нашого ШІ-рецензента.

Увійдіть, щоб отримати відгук ШІ

Alex Tutor

На цьому все. Ви відповіли на всі завдання — чудова робота.

Наступний урок: Викиди та скошені дані